​与垂足三角形相关的一些基础性结论

与垂足三角形相关的一些基础性结论

我们知道,从三角形的三个顶点向对边作垂线,三条垂线交于一点,该点即为三角形的垂心,通常标注外为“H”;连接三个垂足所得的三角形称为垂足三角形,如图1中的△DEF。

在垂足三角形的基本图形中,含有三角形的三个顶点、三个垂足和一个垂心,这七个点可以组成六个四点共圆图形,根据四点共圆的性质将各个相等的角标注于图2~5。

在此基础上,我们可以得出且易于理解记忆如下基本结论:

锐角△ABC的垂心H亦为垂足△DEF的内心(图2)。H、A、B、C四点中任意一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(图6)。

3.△ABC∽△AEF∽△DBF∽△DEC(图3、图5、图4),另有多个直角相似三角形和四点共圆有关的相似三角形,这里不再赘述。

4.因AD⊥BC,已证AD为∠FDE的角平分线,则有:

∠ADB=∠ADC,∠FDA=∠EDA,∠FDB=∠EDC=∠BAC(图7)。

同理,∠EFA=∠DFB=∠ACB,∠FEA=∠DEC=∠ABC。

5.垂心与三角形的两个顶点连线的夹角与剩余顶点的角互补(图8),即∠BHC=180°-∠BAC,∠AHB=180°-∠ACB,∠AHC=180°-∠ABC。

6.三角形中一边的中点与另外两边的两个垂足连线的长度相等,如图9,设M为BC的中点,连接ME、MF,根据直角三角形的斜边中线性质,易证ME=MF。

7.三角形中任意一边的中点与三个垂足四点共圆,也就是说三角形的三个垂足、三条边的三个中点共圆(六点圆),见图10中∠EFD=∠EMD=2α。

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