与垂足三角形相关的一些基础性结论
我们知道，从三角形的三个顶点向对边作垂线，三条垂线交于一点，该点即为三角形的垂心，通常标注外为“H”；连接三个垂足所得的三角形称为垂足三角形，如图1中的△DEF。
在垂足三角形的基本图形中，含有三角形的三个顶点、三个垂足和一个垂心，这七个点可以组成六个四点共圆图形，根据四点共圆的性质将各个相等的角标注于图2~5。
在此基础上，我们可以得出且易于理解记忆如下基本结论：
锐角△ABC的垂心H亦为垂足△DEF的内心（图2）。H、A、B、C四点中任意一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（图6）。
3.△ABC∽△AEF∽△DBF∽△DEC（图3、图5、图4），另有多个直角相似三角形和四点共圆有关的相似三角形，这里不再赘述。
4.因AD⊥BC，已证AD为∠FDE的角平分线，则有：
∠ADB=∠ADC，∠FDA=∠EDA，∠FDB=∠EDC=∠BAC（图7）。
同理，∠EFA=∠DFB=∠ACB，∠FEA=∠DEC=∠ABC。
5.垂心与三角形的两个顶点连线的夹角与剩余顶点的角互补（图8），即∠BHC=180°-∠BAC，∠AHB=180°-∠ACB，∠AHC=180°-∠ABC。
6.三角形中一边的中点与另外两边的两个垂足连线的长度相等，如图9，设M为BC的中点，连接ME、MF，根据直角三角形的斜边中线性质，易证ME=MF。
7.三角形中任意一边的中点与三个垂足四点共圆，也就是说三角形的三个垂足、三条边的三个中点共圆（六点圆），见图10中∠EFD=∠EMD=2α。
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